Nos adentramos en el conocimiento del número cardinal.

Comenzamos contestando a la pregunta ¿Qué es la Didáctica de las Matemáticas?
Se trata de una disciplina científica joven que trata de identificar y explicar fenómenos, así como de resolver problemas, ambos relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, y pudiendo manifestarse tanto dentro como fuera del aula.

[Información extraída del blog de Mario Sánchez Aguilar en http://mariosanchezaguilar.com/2012/09/28/que-es-la-didactica-de-las-matematicas/]

Uno de los temas incluidos en las Matemáticas en Educación Infantil es el número natural.
Para adentrarnos en la naturaleza del número y su didáctica debemos comprender el significado de una serie de conceptos, como son:

• Conjunto: "colección" de elementos. Los conjuntos pueden ser infinitos o finitos, que pueden o no tener una propiedad común. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas, mientras que sus elementos se representan con letras minúsculas. A= {2,4,6,8} es un conjunto finito de números pares. Y 2 es un elemento de A, por lo que se representa 2∈A (2 pertenece a A), mientras que 3 no es un elemento de A, por lo que 3∉A (no pertenece)
• Subconjunto: parte de un conjunto, de manera que A es subconjunto de B si y sólo si cada elemento de A está en B. Esto es, {1,2,3} es subconjunto de {1,2,3,4}, lo que se representa AB (inclusión). No obstante, {1,2,5} no es subconjunto de {1,2,3,4}, porque el elemento 5 no está en el conjunto más grande. Dados dos conjuntos A y B, diremos que A está contenido o incluido en B, o que es una parte o subconjunto de B si todos los elementos de A pertenecen también al conjunto B.

En esta imagen, A  B (subconjunto)

• Relación de equipotencia o relación de equivalencia:  se da cuando se cumplen las propiedades reflexiva (un elemento) simétrica (dos elementos) y transitiva (tres elementos). Esta relación de equipotenia nos permite definir las clases de equivalencia.

Dos equipos son equipotentes cuando tienen el mismo número de elementos y su aplicación es biyectiva.
Una aplicación (f) de un conjunto A en otro B es una correspondencia que asigna a cada elemento perteneciente al conjunto A un elemento perteneciente al conjunto B, llamado imagen de a.

• Aplicación biyectiva: función que se caracteriza por una relación de correspondencia "uno a uno" entre los elementos de dos conjuntos. Es decir, para cada elemento del conjunto B (conjunto de llegada) hay un elemento del conjunto A (conjunto de salida), cumpliéndose que f(x)=y. Toda función biyectiva es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.

APLICACIÓN BIYECTIVA

Ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos.  

• Aplicación inyectiva: función que se caracteriza por una relación uno a uno entre los elementos de dos conjuntos, de manera que todos los elementos de B tienen uno que le corresponde en A, pero esto no implica que todos los elementos del conjunto B tengan alguno de A. Es decir:

APLICACIÓN INYECTIVA

• Aplicación sobreyectiva: cada elemento de B se corresponde con al menos uno de A.

APLICACIÓN SOBREYECTIVA

Una vez aclarados estos conceptos podemos comprender que:
La clase de equivalencia de un conjunto cualquiera A, según la relación de equipotencia que acabamos de definir, está formada por todos los conjuntos X que son coordinables o equipotentes con A. De esta manera, el conjunto formado por todas las clases determina el conjunto cociente.

Entonces, definimos:

El número cardinal de un conjunto A, y lo notamos card(A), como la propiedad que tienen en común todos los conjuntos coordinables o equipotentes con A; es decir, es la característica de la clase de equivalencia del conjunto A. Dicho de otra manera, el nº cardinal es el número de elementos de un conjunto, de manera que todos los conjuntos con el mismo número cardinal son equipotentes.

¿Cómo representamos los conjuntos de los números cardinales?
Card(ø)= 0 y se llama número cardinal 0. Ø representa el vacío.

Card ({ø})= 1 y se llama número cardinal uno.
Card ({ø;{ø}})= 2 y se llama número cardinal dos.
Card ({ø;{ø}; {ø;{ø}}}) = 3 y se llama número cardinal tres.
Y así sucesivamente.

Debemos ordenar los números cardinales definidos. Para ello definimos la relación de orden menor o igual de la siguiente forma:

Si X e Y son dos números cardinales, diremos que X es menor o igual que Y, escribimos X≤Y, si y sólo si existe una aplicación inyectiva f de A en B, siendo A un conjunto cuyo cardinal es X (Card(A)=X), y B es un conjunto cuyo cardinal es Y (Y=card(B).

APLICACIÓN INYECTIVA

Card (3) ≤ Card (4)

Esta relación es de orden pues cumple las propiedades:

Reflexiva (i,e, x≤x)

Simétrica (i,e si x≤y e y ≤x, entonces x = y) 

Transitiva (i,e si x≤y e y ≤z, entonces x ≤z)

Una vez comprendido el orden pasamos a la cuantificación de las colecciones, teniendo en cuenta las SITUACIONES DIDÁCTICAS Y ACTUACIÓN EN EL AULA.

Primero establecemos la siguiente relación:

¿Cuál es, por tanto, el significado didáctico del número cardinal?

Nº cardinal de un conjunto → ¿Cuántos hay? → Cuantificación de una colección de objetos

Comprendida la cantidad, toca comparar los conjuntos. Para ello enseñaremos a utilizar las expresiones "igual que", "más que" y "menos que", para lo cual tendremos que tener tres procesos importantes que suelen darse cuando el alumnado está aprendiendo:

• Semejanzas perceptivas. Se da cuando el niño/a percibe que en dos conjuntos hay lo mismo por el tamaño, la longitud... Se dejan llevar por la percepción visual.

                                         

En este caso, perciben que en A hay la misma cantidad que en C, por que ambos conjuntos tienen la misma longitud.

• Subitización. El alumno/a es capaz de contar a grosso modo pequeñas cantidades.
• Correspondencia uno a uno. El alumno/a alcanza el éxito operatorio cuando es capaz de contar uno a uno.

¿CUÁL ES EL LENGUAJE SUBYACENTE A LA CARDINACIÓN?

Pueden darse tres tipos de combinaciones.

1. Numerales y verbos: "Tengo 8", "Debo 3", "Hay 5"...

2. Numerales y objetos: "3 caramelos", "8 niños", "4 camisetas"...

3. Comparación de cantidades discretas: "Hay más niños que niñas", "Hay igual niños que niñas", "Hay menos niños que niñas"...

OPERACIONES LÓGICAS-MATEMÁTICAS DE LA CARDINACIÓN

1. Conservación de cantidades discretas.

• No porque abulte más, hay más.
• No porque estén más espaciados, hay más.

2. El esquema de correspondencia uno a uno.

• Provocada y no duradera. Se le ofrece al alumno/a tres jarrones y tres flores, y se le pide que meta cada flor en un jarrón.
• No provocada y no duradera. Servir el agua en los vasos durante la comida.
• No provocada y duradera. Que viendo el siguiente dibujo, diga que en ambos hay 5 estrellas.